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Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Für eine trigonalisierbare Matrix A {\displaystyle A} existiert also eine reguläre Matrix S {\displaystyle S} , sodass D = S − − 1 A S {\displaystyle D=S^{-1}AS} eine obere Dreiecksmatrix ist. Als trigonalisierbaren Endomorphismus bezeichnet man entsprechend einen Endomorphismus f : : V → → V {\displaystyle f\colon V\to V} über einen endlichdimensionalen Vektorraum V {\displaystyle V} , falls es eine Basis B {\displaystyle B} von V {\displaystyle V} gibt, sodass die Darstellungsmatrix M B ( f ) {\displaystyle M_{B}(f)} eine obere Dreiecksmatrix ist. Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

• Definition

• Kriterien für die Trigonalisierbarkeit

• Berechnung der oberen Dreiecksmatrix

• Siehe auch

• Weblinks

• Literatur

Eine quadratische Matrix A ∈ ∈ K n × × n {\displaystyle A\in K^{n\times n}} heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das heißt, es existiert eine reguläre Matrix S ∈ ∈ K n × × n {\displaystyle S\in K^{n\times n}} , sodass D := S − − 1 A S {\displaystyle D:=S^{-1}AS} eine obere Dreiecksmatrix ist, also sodass D {\displaystyle D} die Form

D = S − − 1 A S = ( λ λ 1 ∗ ∗ ⋯ ⋯ ∗ ∗ 0 λ λ 2 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ∗ ∗ 0 ⋯ ⋯ 0 λ λ n ) ∈ ∈ K n × × n {\displaystyle D=S^{-1}AS={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\ast &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ast \\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}\in K^{n\times n}}

hat, wobei λ λ 1 , λ λ 2 , … … , λ λ n ∈ ∈ K {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}\in K} Eigenwerte von D sind.

Ein Endomorphismus f : : V → → V {\displaystyle f\colon V\to V} über einen endlichdimensionalen Vektorraum V {\displaystyle V} heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis B {\displaystyle B} von V {\displaystyle V} gibt, sodass die Darstellungsmatrix M B ( f ) {\displaystyle M_{B}(f)} eine obere Dreiecksmatrix ist.

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

• Die Matrix A {\displaystyle A} ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Das heißt, es existieren eine obere Dreiecksmatrix D {\displaystyle D} und eine invertierbare Matrix P {\displaystyle P} mit D = P − − 1 A P {\displaystyle D=P^{-1}AP} .

• Das charakteristische Polynom der Matrix A {\displaystyle A} zerfällt über dem Körper K {\displaystyle K} in Linearfaktoren.

• Das Minimalpolynom der Matrix A {\displaystyle A} zerfällt über dem Körper K {\displaystyle K} in Linearfaktoren.

• Die Matrix A {\displaystyle A} besitzt über dem Körper K {\displaystyle K} eine Jordan-Normalform.

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über C {\displaystyle \mathbb {C} } trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix D {\displaystyle D} zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix P {\displaystyle P} , mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

D = P − − 1 A P {\displaystyle D=P^{-1}AP}

Des Weiteren haben A {\displaystyle A} und D {\displaystyle D} dieselben Eigenwerte.

Da das charakteristische Polynom von A {\displaystyle A} in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert λ λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} und einen zugehörigen Eigenvektor v 1 {\displaystyle v_{1}} . Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis v 1 , v 2 , … … , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}} des K n {\displaystyle K^{n}} ergänzt. Die Matrix T 1 {\displaystyle T_{1}} sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis v 1 , v 2 , … … , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}} zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich T 1 − − 1 A T 1 {\displaystyle T_{1}^{-1}AT_{1}} berechnen und die Form

T 1 − − 1 A T 1 = ( λ λ 1 d 1 , 2 ⋯ ⋯ d 1 , n 0 ⋮ ⋮ A 1 0 ) {\displaystyle T_{1}^{-1}AT_{1}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&d_{1,2}&\cdots &d_{1,n}\\0&&&\\\vdots &&A_{1}&\\0&&&\end{pmatrix}}}

Für das charakteristische Polynom der ( n − − 1 ) × × ( n − − 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} -Matrix A 1 {\displaystyle A_{1}} gilt p A ( λ λ ) = ( λ λ − − λ λ 1 ) p A 1 {\displaystyle p_{A}(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})p_{A_{1}}} . Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und A 1 {\displaystyle A_{1}} ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man A n − − 1 = d n , n {\displaystyle A_{n-1}=d_{n,n}} berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix D {\displaystyle D} . Die Matrix P {\displaystyle P} ergibt sich als Produkt T 1 T 2 … … T n − − 1 {\displaystyle T_{1}T_{2}\dots T_{n-1}} der Basiswechselmatrizen.

• Schur-Zerlegung ist ein Beispiel für ein Trigonalisierungsverfahren über R {\displaystyle \mathbb {R} } oder C {\displaystyle \mathbb {C} }

• Diagonalisierbare Matrix

Wikiversity: Eine Vorlesung über trigonalisierbare Abbildungen

– Kursmaterialien

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 14. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.